聚焦算理梳理教材  领悟整数乘法运算的一致性

      昌吉市第十小学    付 海 燕

〖摘要〗：梳理教材的知识结构，构建整数乘法运算一致性的脉络；计数单位个数累加来统领整数乘法，体现从未知到已知的转化；与数概念的本质、运算定律有效融合，突出计数单位个数的运算。

〖关键词〗：计数单位、转化、推理、运算的一致性

2022版明确指出：数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理，掌握算法，在数的运算教学中，通过数的意义理解数的运算，关注的是“数”与“运算”的一致性；通过化未知为已知理解掌握“新计算”，关注的是思想方法的一致性。运算一致性一度成为新课标颁布后最热门的教研话题。

基于对课标的研读，结合专家对运算一致性的一些解读，对于乘法运算的一致性，我们可以达成这样的共识，就是计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位，计数单位的个数与计数单位的个数相乘得到新的计数单位的个数。而这种乘法运算的一致性，也可以帮助我们实现从新知到已知的转化。而乘法运算一致性的落脚点，就是促进学生数感、符号意识、运算能力和推理意识的核心素养的提升。

一、梳理教材知识结构，构建整数乘法运算一致性的脉络。

面对“一致性”的新要求，我们必须对教材进行系统整理，建构不同单元、不同运算算理的一致性，将零散的、碎片的数学知识进行梳理，形成整体化、系统化、逻辑化的数学知识结构。（以整数乘法为例进行梳理）

小学数学乘法模型下典型课例梳理
序号	版本/年级	所在单元	教学内容	教学目标	课标要求	已有学习基础和经验	运算之间的联系	核心素养培养点

二年级上册安排了表内乘法（一）一共有四个信息窗，分别来学习乘法的初步认识，二到六的乘法口诀，在表内乘法（二）则安排了七到九的乘法口诀，一共三个信息窗。也就是说，乘法是加法的简便运算，乘法口诀是所有乘法运算的基础。三年级上册，安排了两三位数乘一位数，分别安排了口算、笔算以及解决问题。在三年级下册则是安排了两位数乘两位数，也是按照口算、笔算这样的编排思路进行编排。在四年级上册则是安排了三位数乘两位数，也就是三位数乘两位数的口算和三位数乘两位数的笔算以及积的变化规律。实际上在四年级上册就已经完成了整数乘法的学习。

整个乘法的知识结构，从简单到复杂，循序渐进，螺旋上升。合理布局有效融合，助推了乘法运算一致性的落地。从两三位数乘一位数到两位数乘两位数再到三位数乘两位数，都是体现了从未知到已知的转化这样一个思路，这种知识经验的积累，也可以帮助学生去计算三位数乘三位数，多位数乘多位数。目的是要学生去迁移已有的经验，感悟从未知到已知的转化，形成运算能力和推理意识。多位数乘多位数的运算就没有必要再继续作为新课去学习了。

整体分析整数乘法运算，发现“口算整十数乘一位数”的学习，学生从计算“几个一”发展到计算“几个十”，“计数单位”帮助学生经历整数乘法运算的第一次“突围”。从“位值”的角度理解整数乘法，学生生长出“整十、整百、整千数……”乘一位数的“翅膀”，感悟乘法运算算理的一致，都是计算有多少个计数单位。

“笔算不进位的两位数乘一位数”，是学生第一次结合“数的意义”将两位数分解成“几个十和几个一”，把“两位数乘一位数”转化为“几个十乘一位数和几个一乘一位数”，经历从未知到已知的转化。从“转化”的角度理解整数乘法“两位数乘两位数”“三位数乘两位数”等“新计算”的运算，都是结合数的意义拆分一个乘数，使“新计算”转化为“旧计算”，其思想方法是一致的。

二、以计数单位个数累加来统领整数乘法，体现从未知到已知的转化。

两位数乘一位数的口算，孩子们第一次接触到40×2这样的两位数乘一位数，在这里充分借助数概念本质，40就是4个十，4个十乘2，得8个十，8个十就是80，让学生初步感悟计数单位个数的累加。在两位数乘一位数的笔算中，也是借助数概念的本质，12×4可以把12看成1个十和2个一，1个十和2个一分别与4相乘，1个十乘4就是4个十，4个十就是40，2个一和4相乘就是8个一，8个一就是八，然后再把这两部分合起来。借助点子图的直观模型及数形结合的思想，让学生清楚看出，把12乘4分成10和2分别与4相乘，一个分、算、合的过程，让学生感受从未知到已知的转化。体会两位数乘一位数实际上也是计数单位个数的累加。

两位数乘两位数继续借助图形表征让学生理解其计算过程，也是通过分、算、合实现从未知到已知的转化。到了三位数乘两位数则是以知识的迁移为主，让学生借助两位数乘两位数的经验去探究三位数乘两位数的算理和算法，体现乘法运算一致性，给学生带来的方便。

三、与数概念的本质、运算定律有效融合，突出计数单位个数的运算。

数运算贯穿小学数与代数领域教学的始终，分散在不同学段，不同年级进行教学，整数、小数、分数的加减乘除运算看似不同，但从计数单位的角度来认识数的运算，它们都是基于计算单位构建的。

第一次呈现计数单位相乘得到新的计数单位是在两位数乘两位数的口算。以20×30=600为例进行分析计数单位和计数单位的个数的变化过程：

   20 × 30 =（2×10）×（3 ×10） =（2 × 3）×（10 × 10）

（2×3=6→有6个这样的计数单位）（10×10=100→100就是新的计数单位）

        

从上面的例子我们可以看出，确实产生了新的计数单位100，而100是由两个乘数的计数单位相乘10×10=100得到，而6是计数单位上的数字3×2=6得到。由此得出乘法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘产生新的计数单位，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘就是新的计数单位的个数。实际上这里也是根据学生的知识经验，借助数概念的本质，十个十就是一百，让学生初步的感悟计数单位相乘得到新的计数单位，这也是后续两位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数运算的基础。

    总之，数的建构关注的是计数单位及其个数，运算首要关注的是算理，而非算法。只要我们共同关注数学本质，引导学生带着数与运算的灵魂——计数单位上路，合理合法，一致应用，保持跨学段的内在一致性，确保孩子们一直穿越在数感、运算能力、推理意识的路上，从而在学习中建好“承重墙”，打通“隔断墙”，将零散、碎片化的知识整体化、系统化、逻辑化，最终浸润数学思想，培育学生的数学学科素养。