利用重要不等式秒杀不等式证明及最值问题
赵泽林
西安市西电中学
摘要：本文针对两道不等式例题的证明和求最值，对比基本不等式和重要不等式的做法，感受重要不等式秒杀解题，实现一题多解。
关键词：重要不等式 证明 最值
常见不等式可以分为对称不等式和非对称不等式，对称不等式是针对于多变量不等式的，如果多变量不等式的所有参数任意互换之后，该不等式依然不变，那么称该多变量不等式为对称不等式；否则即为非对称不等式，即就是说，不是对称不等式，那就是非对称不等式。
对称不等式判断的方法为：如
将不等式中的a和b调换，不等式不变，即为对称不等式。
对不等式的考查主要有证明和求最值两种形式，以下选择两道题分别讲解如何利用重要不等式秒杀完成题目。在做题之前，我们一起看看重要不等式都有哪些？
I.均值不等式
设
都是非负数，则它的算数平均值为
，它的几何平均数为
，两者的关系如下：
，当且仅当
时，等号成立。
特例1，设
是实数，则
，当且仅当
时取等号。
2，设是正实数，则
，当且仅当时取等号。
II.常用不等式
设
是正实数，则
III.柯西不等式
设
与
是两组实数，则有
IV.权方和不等式
设
,则
V.切比雪夫不等式
设
与
，则有
设与
，则有
VI.琴生不等式（詹森不等式）
若f(x)是区间(a,b)上的凸函数，则对于任意的点
，有（詹森不等式）
当且仅当
时，等号成立。
例1：（对称不等式）已知
，且
，求
的最小值。
解1：（利用均值不等式的变式）因为
，
所以
又，
，
，
当且仅当
时，以上三个不等式同时取等号，
所以
所以
即
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
.
解2：（利用柯西不等式）因为，
所以
所以
，即
当且仅当
时取等号，所以的最小值为.
解3：（利用常用不等式）因为，
所以，所以
，即
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
解4：（利用切比雪夫不等式）
因为，
该不等式是对称不等式，不妨设
所以
，即，
所以的最小值为.
解5：（利用权方和不等式）
因为，
所以的最小值为.
例2：（非对称不等式）已知，且
，证明:
.
证明1：（利用均值不等式）
已知，且
，
则
.
当且仅当时取等号.
证明2：（利用均值不等式变式）
已知，且，
则
又
，
，
所以
，即
当且仅当时取等号.
证明3：（利用柯西不等式）
已知，且，
则
即
.
证明4：（利用琴生不等式（詹森不等式））
已知，且，设
所以
，
，
，则
，
即.
证明5：（利用切比雪夫不等式）
已知，且，
则
即.
参考文献：
[1]蔡玉书.重要不等式[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2021.
[2]严士健，王尚志.普通高中课程标准试验教科书，数学选修4-5，不等式选讲[M].北京：北京师范大学出版社，2020.
