基于网络画板的二次函数动点问题探究
林敏 唐刚群
仁寿县鳌峰初级中学 仁寿县鳌峰初级中学
摘要：二次函数动点问题中的瓜豆模型是函数中的难点问题。由于比较抽象，很难想象出动点的运动过程和轨迹。基于此，可以充分的利用网络画板解决此类问题。网络画板具有测量，制作运动图形的功能，能比较直观的呈现动点的运动轨迹。由此得出二次函数动点问题中的瓜豆模型相关规律。以此达到使这类问题解题思路模式化。
关键词: 二次函数动点 瓜豆模型 网络画板
二次函数动点问题之瓜豆模型作为是考试热点之一，比较抽象、难理解、综合性比较高。随着现代信息技术的发展，用于数学教学的工具也在不断更新，比如最近几年出现的网络画板在线数学教学工具就能很好的用于数学直观教学解决这类问题。
网络画板为适应互联网、移动互联网环境下教育信息化发展的新趋势，运用国内领先的动态几何技术、智能推理技术、符号运算、网络交互技术开发的第一款国内领先的移动互联网环境下的动态数学学科教学工具。利用网络画板制作好的图可以共享，可以编辑，也支持本地作图和离线播放，也方便学生在线观看和编辑。网络画板能够通过对动点运动过程的直观呈现，动态展示，以此达到帮助学生理解二次函数动点问题。下面以二次函数中的瓜豆模型为例，探究网络画板下的运动问题的直观解决。
初中阶段遇到的瓜豆模型题大多是两种类型，一种是动点的运动轨迹是圆或是圆的一部分。另一种类型是动点运动轨迹是线段（射线）。
类型一：动点运动轨迹是圆（圆的一部分）
例题1:已知：如图二次函数
与
轴交于
两点。
为对称轴与轴的交点。
是平面内一点，且
，连结
,将线段绕点顺时针旋转
，得到线段
，连结
,求线段的取值范围。
解：分析首先利用网络画板画出基本的二次函数的图像，经过分析可以知道Q点的运动轨迹是以H点为圆心，以1为半径的圆，如图1。由于Q点是主动点，动点轨迹是一个圆，把这个圆叫做主心圆，把其圆心叫做主心。M点也是一个动点，并且会随着Q点的运动而运动，叫做从动点。本题如果直接靠想象是很难理解的。那么这个时候，我们可以借助互联网动态教学工具这一优点，帮助教学。利用网络画板的“轨迹跟踪”还可以画出M点的运动图形也是一个圆，把这个圆叫做从心圆，把其圆心称为从心如图2.
（图1） （图2）
借助网络画板将动点问题可视化，直观化，便于学生理解。当学生从直观上理解了从动点与主动点的关系，知道当主动点的运动轨迹是圆，那么从动点的运动轨迹也是圆。此时就可以更容易求解在运动过程中MH的最大值和最小值范围了。如下图通过观察可以发现，具体解答过程如下：如图5可以利用等腰直角
与等腰直角
相似（其中
为从心圆的圆心），
，
=
。还可以由
与
相似得到
=，由于QH=1，所以得到从心圆的半径为.进一步容易得到BH=NH=2。所以此时比较容易求得MH的最大值即为图中的线段EH=2+. MH的最小值即为图中的线段FH=2-.综上2-
。
（图3）
规律总结：解决此类题关键就是确定从心圆的圆心。确定从心圆的圆心，主要包括下面两步骤。
第一步明确定点，主动点，从动点。以及连接主动点与定点的线段BQ。从动点与定点的线段BM。
第二步判断
是一个定值。利用主心与定点的线段BH,从心与定点的线段BN，以及
=，来确定从心圆的圆心。最后借助相似求相应的线段长，最终解决实际问题。
例题2：如图：已知抛物线
与交于
，与
轴的交于点
，若点
在以
为圆心，2为半径的⊙上，⊙与轴交于
两点（点
在点E左侧），连结
,以为边在 下方作等腰
且
，连结
,求的长度的取值范围。
解：分析本题同例题1类似。分析主动点与从动点，明确主动点的运动轨迹是圆。则从动点的运动轨迹也是圆。然后借助网络画板画出从动点Q的运动轨迹。如下面的几幅图所示。
解决方法和例题1类似。最终求出
类型二：动点的运动轨迹是线段
(黄冈模拟考试题) 例题3如图，在平面直角坐标系中，点
是
轴正半轴上的一个动点，抛物线
（
是常数，且＞0）过点，与
轴交于点
、
，点在点的左边，连接
，以为边作等边
，点
与点
在直线两侧，连接
，求的最小值．
分析：这题的难点在于动点的运动轨迹。利用网络画板画出已知的二次函数图像。利用动点的轨迹跟踪可以得到主动点
的运动轨迹是一条射线，动点
的运动轨迹也是一条射线。如下图所示。要求
线段(即
线段)的最小值，即为当与从动点的轨迹所在的射线垂直的时候最小。接下来就可以构造相似或是全等解决问题。
解：以
为边作等边三角形
连接
，并延长交
轴于
，
∵
，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴由垂线段最短得
．
本文主要是研究网络画板这一互联网教学工具对数学教学的作用。本文中所研究的两类动点问题也就是常常说的“瓜豆模型”通过借助网络画板工具对此类问题的辅助研究，那么对于此类题，可以明确的是当从动点的运动轨迹与主动点的轨迹保持一致。所以之后遇到类似的题，都可以用借助这些解题经验先通过或是通过定点旋转构造相似或是特殊点构造出特殊点的运动轨迹图像。再借助几何图形的解题策略解决此类问题。
