高中数学正弦函数和余弦函数的图象性质教学案例
王德玲
云南省普洱市景谷傣族彝族自治县第一中学
一、案例背景
本节课是高中数学新教材人教A版 (2019) 必修第一册第五章5.4.1节 就是正弦函数、余弦函数的图象的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法，为今后学习正弦型函数 的图象及运用数形结合思想研究正、余孩函数的性质打下坚实的知识基础，因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。
二、案例描述
通过播放Flash动画“绳子抖动”和视频“简谐运动”，使学生对正弦函数和余弦函数的图象有直观印象，揭示课题，给出正弦函数、余弦函数定义：①函数叫正弦函数，定义域为R；②函数叫余弦函数，定义域为R。
师：我们研究函数的基本思路是什么？
教师启发学生思考，归纳定义，画出图象，观察图象，总结性质，继而进行性质的应用。
设计意图：引导学生使用研究函数的基本思路来研究三角函数。
（1）代数描点法作图
问题1：用代数描点法作函数图象的步骤是什么？如何用代数描点法作图？
学生列表、描点、连线，并发现点、的纵坐标可由三角函数值表查出，但数值不够精确，导致描点后所画图象误差大，考虑几何方法。
设计意图：引导学生，使其发现使用代数描点法画图，误差较大，从而引出几何描点法的必要性。
（2）几何描点法作图
问题2：如何用几何方法在直角坐标系中作出点？
教师引导学生采用平移正弦线的方法，在坐标系中描点 ，再验证为正弦函数图象上的点。
设计意图：在引导学生分析正弦函数图象上的点（x，y）与单位圆中的圆心角x及其对应的正弦线y之间关系的基础上，利用单位圆中的正弦线，描出正弦函数图象上的一个点C，为用几何描点法作出，x∈[0，2π]的图象做准备，为攻克难点做准备。
问题3：如何用几何描点法画出，x∈[0，2π]的图象？
学生知道需要描出更多点，教师用自制PPT课件演示作图过程。学生用几何描点法作出，x∈[0，2π]的图象，步骤如下：
第一步：在x轴上取点O1，以O1 为圆心作单位圆交x轴于点A，以A为起点将单位圆12等分；
第二步：在x轴非负半轴上，以O为起点取长度为2π的线段，将线段12等分，每个等分点对应刚才的一个角；
第三步：单位圆中作出角的终边，作出相应正弦线；
第四步：平移正弦线，使起点与x轴上的点重合，得到13条正弦线的13个终点；
第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得，x∈[0，2π]的图象。
教师演示自制PPT课件，呈现用平移正弦线的方法作出函数，x∈[0，2π]的图象过程，在演示过程中，设计问题，引导学生参与分析过程，攻克难点。
设计意图：通过演示课件（将单位圆12等分），呈现用平移正弦线的方法绘制函数，x∈[0，2π]图象的过程，通过设计问题，学生口答，提高学生对研究过程的参与程度，更为有效地攻克教学难点。
接着，教师演示几何画板课件，学生观察随着等分点的增加，出现的变化情况。
问题4：刚才是把单位圆12等分，下面看看增加等分数，会有什么变化？
学生观察几何画板课件发现：随着等分数（n=16、35、100）的增加，点越来越密集，精确度越来越高，越接近曲线形状。
师：我们已经将单位圆100等分，点非常密集，接近曲线形状，所描的点都是具体的点，那么，对于任意角平移正弦线，会怎样呢？
教师演示几何画板课件，呈现平移任意角正弦线的结果。
设计意图：利用正弦线画，x∈[0，2π]的图象，是本节课的难点之一，教师通过演示PPT课件和几何画板课件，结合设计问题，引导学生思考，提高学生对探究过程的参与程度，有效地攻克教学难点。
问题5：怎样才能得到， x∈R的图象？
学生思考，并回答：因为终边相同角的同一三角函数值相等，即，k∈z，也就是给x加上2π的整数倍所得正弦值与原来一样，所以，x∈[2kπ，2（k+1）π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象的形状完全相同，只是位置不同。于是，只要将函数，x∈[0，2π]的图象向左、右平移（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数，x∈R的图象。
设计意图：通过问题形式，引发学生思考如何由，x∈[0，2π]的图象得到，x∈R的图象，教师对学生的猜想追问依据，对学生的回答进行补充，可以从正弦线“周而复始”的变化规律解释，也可以从诱导公式解释，继而利用PPT课件演示平移的过程，对猜想予以验证。
（3）图象变换法作图
问题6：如何借助正弦函数图象作出余弦函数的图象？
学生思考，并口答：由于，而，x∈R的图象可以由正弦函数，x∈R的图象向左平移个单位长度得到，因此只需将函数，x∈R的图象向左平移个单位长度就可以得到函数，x∈R的图象。余弦函数，
x∈R的图象，也叫余弦曲线。
设计意图：通过问题形式引发学生思考，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，继而使用PPT课件演示平移的过程，使学生明确应用图象变换作出，x∈R的图象的方法。
三、案例反思
从学生现有的学习能力看，通过以往对函数的认识与理解，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，初步具备了抽象、概括的能力。通过教师启发式引导，学生能完成本节课的学习。
